PTA数据结构与算法题目集：7-10 公路村村通 (30分)

现有村落间道路的统计数据表中，列出了有可能建设成标准公路的若干条道路的成本，求使每个村落都有公路连通所需要的最低成本。

输入格式:

输入数据包括城镇数目正整数N（≤1000）和候选道路数目M（≤3N）；随后的M行对应M条道路，每行给出3个正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号以及该道路改建的预算成本。为简单起见，城镇从1到N编号。

输出格式:

输出村村通需要的最低成本。如果输入数据不足以保证畅通，则输出−1，表示需要建设更多公路。

输入样例:

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6 15
1 2 5
1 3 3
1 4 7
1 5 4
1 6 2
2 3 4
2 4 6
2 5 2
2 6 6
3 4 6
3 5 1
3 6 1
4 5 10
4 6 8
5 6 3

输出样例:

1
12
  • 题意：现要建设公路使各个村落都得以连通，给出若干条村落间建设公路需要的费用，如果给出的信息足够使得村落全部连通则输出最少的公路建设费用，否则输出 -1。
  • 分析：题目中的各个村落映射为图中的结点，村落之间连通的费用则是结点间边的权值，同时要求各结点连通且边权和最小，因此很容易就抽象成图的最小生成树问题。

注：仅通过样例亦无法判断测试样例是稀疏图还是稠密图，因此编写了Prime和Kruskal两种算法下的最小生成树解题代码。通过提交结果可以得到本题中使用Kruskal边贪心的算法效率更高。

  • Prime算法：
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, INF = 0x3f3f3f3f;
int e[N][N], d[N], n, m;
int prime() {
    bool vis[N] = {false};
    fill(d, d + N, INF);
    d[1] = 0;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int u = -1, MIN = INF;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!vis[j] && d[j] < MIN) {
                u = j;
                MIN = d[j];
            }
        }
        if (u == -1) return -1;
        vis[u] = true;
        ans += d[u];
        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (!vis[v] && e[u][v] != INF && e[u][v] < d[v]) {
                d[v] = e[u][v];
            }
        }
    }
    return ans;
}
int main() {
    int a, b, w;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    fill(e[0], e[0] + N * N, INF);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        e[a][b] = e[b][a] = w;
    }
    printf("%d\n", prime());
    return 0;
}
  • Kruskal算法：
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, INF = 0x3f3f3f3f;
struct edge {
    int u, v, cost;
} e[N * 3];
int n, m, father[N];
bool cmp(edge a, edge b) { return a.cost < b.cost; }
int findFather(int x) {
    return x == father[x] ? x : father[x] = findFather(father[x]);
}
int kruskal() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) father[i] = i;
    sort(e, e + m, cmp);
    int ans = 0, cntEdge = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int faA = findFather(e[i].u), faB = findFather(e[i].v);
        if (faA != faB) {
            father[faA] = faB;
            ans += e[i].cost;
            if (++cntEdge == n - 1) break;
        }
    }
    return cntEdge != n - 1 ? -1 : ans;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++)
        scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].cost);
    printf("%d\n", kruskal());
    return 0;
}